Dentro del núcleo estructurante Geometría uno de los saberes básicos fundamentales que se ha observado tienen dificultades los alumnos es respecto a clasificar figuras geométricas.

Este saber básico está incluido en los saberes que se proponen promover desde los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios de séptimo grado, en Relación con la Geometría y la Medida, en donde se puntualiza:

El reconocimiento de figuras y cuerpos geométricos y la producción y el análisis de construcciones explicitando las propiedades involucradas en situaciones problemáticas que requieran:
*analizar figuras (triángulos, cuadriláteros y círculos) y cuerpos (prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas) para caracterizarlas y clasificarlas.

A continuación se muestran algunos ítems de evaluación que obtuvieron en general menos del 50% de respuestas correctas. Por ejemplo en la evaluación de 2013 el  ítem (abierto) correspondiente a este saber obtuvo un 12,03% de acierto.

Los ejercicios dados corresponden a varios operativos de evaluación (provinciales, nacionales e internacionales) porque en ellos, a pesar de ser poblaciones distintas y de distintos años, los alumnos repiten los mismos errores.

Es importante recordar que cada uno de los distractores que aparecen NO han sido puestos al azar, son posibles formas de razonar que tienen los alumnos, o un aprendizaje incompleto que en algunos casos les resulta válido. Por ello en evaluación sistemática se los llama “distractores válidos”, al elegirlos queda claro el error que tienen los alumnos.

 

El estudio de las figuras planas es uno de los objetos centrales de la Geometría en el Segundo Ciclo. Pero, ¿En qué pensamos cuando hablamos de figuras en este nivel de la enseñanza? ¿Qué significa estudiar figuras?: ¿Reconocerlas perceptivamente? ¿Recordar sus nombres? ¿Clasificarlas según diferentes criterios? ¿Enunciar sus propiedades? ¿Usar las propiedades para resolver problemas? ¿Elaborar las propiedades a través de la resolución de problemas?…

Si nos preguntamos qué son las figuras la respuesta no es la misma desde la perspectiva de los alumnos que desde el conocimiento del docente. En las primeras aproximaciones de los niños, las figuras son tratadas esencialmente como dibujos. Es decir son marcas en el papel cuya interpretación está fundamentalmente basada en la percepción y acerca de las cuales no se plantean todavía relaciones que puedan ser generalizadas.

¿Qué queremos decir? Un niño que ingresa a la escuela es capaz de reconocer el dibujo de un cuadrado. Pero si le preguntáramos cómo sabe que el dibujo que está viendo representa un cuadrado, seguramente quedaría desconcertado por la pregunta y su respuesta sería más o menos: “porque sí, porque es un cuadrado”. Es decir, nuestro niño reconoce el cuadrado globalmente, sin acceder necesariamente a las propiedades que lo caracterizan. Podemos decir que él “ve” el cuadrado pero no “ve” los ángulos rectos ni los lados congruentes. Si le preguntáramos a un chico de sexto grado cómo saber si cierto dibujo representa un cuadrado, seguramente esperaríamos que nos responda que hay que verificar que tiene los lados congruentes y los ángulos rectos. El niño pequeño y el alumno de sexto grado no “ven” lo mismo frente al mismo dibujo del cuadrado.

Pensemos ahora en la circunferencia: los chicos están en condiciones de reconocerla y de diferenciarla de otras figuras mucho antes de saber que se trata del conjunto de puntos que equidistan de uno dado. Por otro lado, esta última propiedad no va a ser accesible por el sólo hecho de “observar” pasivamente dibujos de circunferencias. Será necesaria cierta actividad intelectual que trascienda el nivel perceptivo para que la propiedad se torne observable.

De acuerdo con las teorías de Van Hiele y Vinner, un alumno comienza a construir la imagen mental de un concepto de una manera global, a partir de ejemplos concretos, sin realizar un análisis matemático de los elementos o propiedades del concepto, sino usando destrezas básicamente visuales. Por lo tanto, las ejemplificaciones presentadas en el momento que se abordó el tema juegan un papel fundamental, más que las definiciones verbales que las acompañan. Así, por ejemplo, si todos los cuadrados que ven los alumnos tienen un lado horizontal sobre el que se apoyan muchos de los estudiantes incluirán este atributo en su imagen conceptual y pensarán que debe cumplirse para que esa figura sea un cuadrado. Es decir,  si los alumnos siempre ven en los libros de textos, los cuadrados dibujados de esta manera

 

 

No reconocerán como cuadrados los dibujados de esta manera.

 

 

 

En este sentido, es frecuente ver en las clases de Geometría –y también en los libros de texto– que se hace un abuso de representaciones típicas de las figuras geométricas, lo que no es un error matemático, pero sí un serio error didáctico que entorpece el proceso de aprendizaje de la Geometría y el desarrollo del nivel de razonamiento de los alumnos.

Las relaciones entre dibujo y figura son complejas y van cambiando en función de los conocimientos que los niños van elaborando: el dibujo “muestra” relaciones vinculadas al objeto geométrico teórico, siempre y cuando el sujeto que interpreta el dibujo posea o esté elaborando un caudal de conocimientos que le permita identificarlas. Como analizábamos en el ejemplo del cuadrado, un mismo dibujo puede remitir al establecimiento de relaciones muy diversas.

Las cosas no son -por supuesto- blanco o negro. Decir que unos perciben sin conceptualizar propiedades y que otros pueden captar todas las propiedades a través de un dibujo que las represente, no responde a lo que en realidad sucede en la interacción con las figuras. A medida que evolucionan las conceptualizaciones que los niños elaboran, se vuelven cada vez más observables en el dibujo las propiedades del objeto que ese dibujo representa. Claro que esa evolución es producto de un aprendizaje y este aprendizaje no es espontáneo. Supone la resolución de problemas que exijan -y posibiliten- la elaboración del conocimiento al que los niños deberían acceder. Por eso, ubicados en esta perspectiva, nos preguntamos bajo qué condiciones evolucionan las relaciones que los niños son capaces de establecer en relación con las figuras.

Las consideraciones anteriores apuntan a analizar la problemática de los aspectos que se hacen observables a través de un dibujo como representación de un objeto geométrico. Hay otra cuestión que es interesante tratar a propósito de las relaciones entre dibujos y figuras.

Al enfrentar un problema geométrico es útil recurrir a un dibujo para representar las relaciones que el problema plantea, pero no es posible, en general, resumir en el dibujo todas esas relaciones que caracterizan la situación con la que se está trabajando.

Así como los dibujos no suelen dar cuenta de todas las propiedades de la situación que representa, ocurre muchas veces que los alumnos infieren del dibujo propiedades que no forman parte del objeto geométrico con el que se está trabajando.

Un ejemplo típico de ello, como ya lo expresamamos, es la posición del dibujo en relación con la hoja de papel. Los maestros reconocerán la dificultad de los niños de “liberar” las figuras de ciertas posiciones: para ellos, en muchas ocasiones, un cuadrado “torcido”, por ejemplo, deja de ser cuadrado.

En síntesis, tener en cuenta la diferenciación entre dibujo y figura resulta una herramienta didácticamente útil para:

Aunque el tratamiento de las figuras como dibujos será preponderante en los primeros años de la escolaridad, consideramos importante plantear un proyecto de enseñanza que tenga en perspectiva y asuma en el momento conveniente la evolución de las relaciones que los niños han de establecer entre los dibujos y los objetos geométricos que esos dibujos representan.

Se trata de un proyecto a muy largo plazo en el que los alumnos deberán tener la oportunidad de enfrentarse con situaciones que les exijan hacer anticipaciones, tomar decisiones basadas en conocimientos geométricos, encontrar maneras de validarlas. En ese camino, a la par de la evolución de las relaciones entre dibujo y figura, irán evolucionando también las relaciones entre lo experimental y lo anticipatorio.

Hemos señalado anteriormente la insuficiencia del dibujo para definir un objeto geométrico. Para hacerlo resulta necesaria la explicitación de las relaciones que caracterizan al objeto: un paralelogramo – por ejemplo – no se define mostrando un dibujo sino a través de la proposición “un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados opuestos paralelos”. Arsac (1992) plantea que la práctica geométrica es un ida y vuelta constante entre un texto y un dibujo. Por este motivo pensar en las distintas instancias en las que los alumnos tengan la oportunidad de vincular textos que describen relaciones referidas a una figura con los dibujos que representan dicha figura, puede resultar una manera de organizar parte de la actividad geométrica del aula.

Bajo ciertas condiciones, el trabajo alrededor de las construcciones de figuras puede favorecer la puesta en juego -explícita o implícita- de algunas de las relaciones que las caracterizan. Las diferentes maneras de gestionar las construcciones en la clase supondrán para los alumnos distintas formas de desplegar el conocimiento geométrico.

Hay distintas modalidades para lograr lo expuesto: dictado de figuras, copiado, construcción a partir de pedido de datos, construcción a partir de datos dados, adivinanzas, entre otros.

A continuación se enumeran algunas intenciones didácticas con respecto a cada una de estas modalidades.

Juegos de adivinación: la finalidad de este tipo de juegos es adivinar cuál es la figura o cuerpo seleccionado por el docente o por un alumno. Tiene como intención que los alumnos pongan en juego un análisis y explicitación de las propiedades que van descubriendo permitiendo la incorporación de nuevo vocabulario. Es preciso realizar este tipo de actividades durante varias clases en una  secuencia de trabajo.

Copiado de figuras: este tipo de actividades exigen un juego de anticipación, si no se determinan de “antemano” ciertas relaciones que caracterizan al dibujo, la copia no será igual al original. Una de las decisiones didácticas que el docente puede “variar” es el tipo de hoja presentada y a utilizar por el alumno, por ejemplo, en un copiado de un rectángulo, si la hoja es cuadriculada, no será necesario enfrentarse al uso de la escuadra para hacer ángulos rectos o para comparar longitudes; en cambio el copiado en hoja lisa sí lo exigirá.
En cuanto a las características, enfrenta a los niños al análisis  de las propiedades de las figuras, exige tomar en cuenta  sus elementos, las medidas, conservar ciertas propiedades, seleccionar los instrumentos más convenientes a usar. A diferencia de los juegos de adivinación, no es necesario explicitar las propiedades mientras  se realiza la actividad. Ésta se logra luego con un trabajo colectivo de comunicación de procedimientos de copiado.

Dictado de figuras: este tipo de problemas forma parte de las actividades de comunicación en donde hay un grupo o alumno receptor y otro emisor, aunque sus roles sean posteriormente intercambiables. La comunicación –escrita en este caso– exige también, como en los otros tipos de problemas mencionados, un análisis de la figura presentada, una explicitación de propiedades, el uso de vocabulario específico, entre otros. Desde la perspectiva de los alumnos, la puesta en común y el análisis de los errores son ocasiones para “jugar” mejor la próxima vez.

Plegado de papel: la actividad de plegado es, sobre todo, una experiencia en la que el niño explora, pasa del plano al volumen y del volumen al plano, deforma y transforma una superficie, visualiza las medianas, las diagonales o la bisectriz de un sector angular. La comunicación oral o por escrito de los distintos procesos de plegado enriquece, ya que implica una interiorización de las nociones de espacio y un proceso de abstracción.  En los plegados, los lenguajes utilizados deben informar la localización, el sentido y la secuencia temporal de los mismos.

Una secuencia de enseñanza puede combinar diferentes actividades en función de los objetivos a los que apunta el docente y dentro de cada modalidad se reconocen variables que la hacen más o menos compleja.

Las variables de una situación son aquellos aspectos cuya modificación produce cambios en las estrategias de resolución de los alumnos y en su relación con las nociones puestas en juego. En las construcciones algunas variables didácticas pueden ser el tipo de hoja o los instrumentos que se habilitan.

Las propuestas didácticas deben presentar un grado de dificultad importante para los alumnos ya que los debe invitar a usar los conocimientos que ya tienen, pero para reorganizarlos y aprender nuevos. Por ello hablamos de “problemas”. Es decir que las secuencias que propongamos no deben pretender que los alumnos “practiquen” lo que ya saben, sino que aprendan.

Como sucede también en el terreno aritmético, para que una situación sea un problema para los alumnos es necesario que:

Reproducimos a continuación las características específicas que Sessa (1998) señala que debe tener un problema geométrico:

En el apartado de propuestas de enseñanza, hay sugerencias y actividades para poder ir sorteando estos obstáculos.

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