Dentro del núcleo estructurante Álgebra dos de los saberes básicos fundamentales que se ha observado tienen dificultades los alumnos es respecto a realizar traducciones entre el registro de la lengua natural y el registro algebraico, y la resolución de ecuaciones.

Estos saberes básicos están incluidos en los saberes que se proponen promover desde los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios, en Relación con el Álgebra y las Funciones, en donde se puntualiza:
El uso de ecuaciones y otras expresiones algebraicas en situaciones problemáticas que requieran:

• transformar expresiones algebraicas obteniendo expresiones equivalentes que permitan reconocer relaciones no identificadas fácilmente en la expresión original, usando diferentes propiedades al resolver ecuaciones del tipo

ax + b = cx + d

• usar ecuaciones lineales con una variable como expresión de una condición sobre un conjunto de números y analizar su conjunto solución (solución única, infinitas soluciones, sin solución).

A continuación se muestran algunos ítems de evaluación que obtuvieron en general menos del 50% de respuestas correctas. Por ejemplo en la evaluación de 2013 el ítem correspondiente al pasaje entre registros obtuvo un 46,11% de aciertos, y en la evaluación 2011 los; ítems correspondientes a la resolución de ecuaciones obtuvieron un 33,14% y un 20,81% de aciertos respectivamente.
Los ejercicios dados corresponden a varios operativos de evaluación (provinciales, nacionales e internacionales) porque en ellos, a pesar de ser poblaciones distintas y de distintos años, los alumnos repiten los mismos errores.

Es importante recordar que cada uno de los distractores que aparecen NO han sido puestos al azar, son posibles formas de razonar que tienen los alumnos, o un aprendizaje incompleto que en algunos casos les resulta válido. Por ello en evaluación sistemática se los llama “distractores válidos”, al elegirlos queda claro el error que tienen los alumnos.

Andrea Novembre, en un documento publicado por la Dirección Nacional de Información y Evaluación de la Calidad Educativa, se refiere a los problemas que surgen en la enseñanza y por ende en el aprendizaje del álgebra.

En el documento antes mencionado se puntualiza que tanto la escuela primaria (en su último año) como en el inicio de la escuela media se les propone a los alumnos trabajar con ecuaciones como una posible entrada al trabajo algebraico. Su enseñanza generalmente se basa en el pasaje de términos o a través de la aplicación de la propiedad uniforme (haciendo la misma operación a ambos miembros de la igualdad). Para lograr el dominio de la técnica, se proponen una considerable cantidad de ecuaciones para su resolución. Generalmente, antes de presentarlas en un problema, se hace un trabajo cuyo objetivo es el de traducir expresiones verbales al lenguaje simbólico y viceversa, que es lo que se necesita saber para modelizar una situación contextualizada.

Desde el punto de vista didáctico, la enseñanza de la traducción entre el lenguaje verbal y el simbólico plantea un problema. Se enseña antes de que los alumnos tengan la oportunidad de necesitarlo. Como consecuencia, se les dificulta reconocer las ocasiones de uso de esta herramienta.
Un típico problema que se propone en clase es, por ejemplo, traducir la expresión 2x+1=9 al lenguaje verbal.

En general, se espera que la traducción se haga en términos de dobles y siguientes de números, para lo cual es necesario restringir el conjunto numérico con el que se trabaja. Si el número “x” no es entero, entonces no tiene sentido hablar de su siguiente. Sin embargo, no es habitual encontrar este dato en la consigna de un problema de este tipo.

Si “x” es un número entero, efectivamente 2x es su doble y 2x + 1 el siguiente de su doble, y el problema afirma que éste número debe valer 9. Si el siguiente del doble de un número es 9, el doble del número es 8 y el número es la mitad de 8. Este es un procedimiento que muchos de nuestros alumnos utilizan para resolver estos problemas, entonces cabe preguntar “¿es necesario escribir una ecuación para encontrar la solución de este problema?”.
El problema también admite otra manera de ser resuelto, igualmente válida. A saber: si “x” es un número entero, también lo es 2x y 2x+1 es el siguiente de ese número. Si el siguiente de un número es 9, el número es 8 y como la expresión correspondiente a él era 2x, el valor correspondiente a “x”es 4.

Los dos razonamientos llevan a encontrar el valor de x. En uno de los casos se expresan todas las relaciones en una sola frase. En el otro, se lo hace en dos.

Es interesante señalar que en ambos casos el valor de “x” pudo encontrarse fácilmente sin necesidad de resolver la ecuación. La traducción sirvió para resolver una ecuación sin aplicar técnica alguna (despejes, propiedad uniforme).

Otra cuestión que es interesante poner en discusión es la frase “la traducción”. ¿Cuál es la traducción de 2x + 1 = 9, si xes un número entero?
¿Que el siguiente del doble de x es 9?
¿Que el siguiente de un número es 9?
¿Que el siguiente de un número par es 9?
¿Que un número impar es 9?
¿Que un número que tiene resto 1 al ser dividido por 2 es 9?

Todas las expresiones anteriores derivan de la ecuación 2x + 1 = 9. Por eso creemos que no es posible hablar de “la” traducción del enunciado al lenguaje verbal. Creemos que es más pertinente hablar de la información que porta la expresión, que es mucha y que uno decide cuál quiere leer en función del problema que necesita resolver.

Las Ecuaciones

Generalmente, la definición de ecuación que se propone es la de “una igualdad con una incógnita”. Frente a esto nos preguntamos si cada una de las siguientes expresiones son ecuaciones:

5x – 4 = 16
5x – 4 = 5x + 2
5x – 4 = 5x – 2 – 2

Al no conocer el valor de x, no es posible decir si 5x – 4 = 16 es o no una igualdad. Por ejemplo, si x vale 0, la expresión se transforma en -4 = 16, que es una igualdad falsa. En cambio, si x vale 4, se obtiene 16 = 16, o sea una igualdad verdadera. Luego, la ecuación 5x – 4 = 16 se transforma en una igualdad verdadera para un único valor de x (x = 4, en este caso) –y no nos detendremos en este momento a analizar la unicidad de este valor-, mientras que para infinitos valores de x es una igualdad falsa.

En cuanto a la expresión 5x – 4 = 5x + 2, podemos decir que si x es un número, también lo es 5x y nunca puede obtenerse el mismo resultado restando 4 o sumando 2 al mismo número. Entonces, no importa por qué valor se reemplace a x, siempre se obtiene una igualdad falsa.

En cuanto a 5x – 4 = 5x – 2 – 2, las expresiones de ambos miembros son equivalentes, por lo que cualquier valor que reemplace a x producirá una igualdad verdadera.

Los tres ejemplos propuestos son ecuaciones, sin embargo:

Por ejemplo:

5x – 4 = 5x + 2 es equivalente a
5x – 5x – 4 = 2  y a
0.x = 6

La última ecuación dice que se busca un número que multiplicado por 0 da 6 por resultado, lo cual es imposible. Si ésta ecuación no tiene solución (no hay ningún valor de x que la satisfaga), tampoco tendrá solución ninguna de las ecuaciones equivalentes a ella.

La mayoría de los alumnos vincula la incógnita con un “número a develar”. En ese sentido “Ellos (los alumnos) parecen sostener que una ecuación es una igualdad entre números en la que la x está “tapando” a un número que interviene en la expresión. La ecuación sería entonces una proposición –la afirmación de una igualdad- y no una función proposicional.” Panizza, M., Sadovsky, P, Sessa, C. (1996).

La noción de incógnita pareciera ser la de algo que “existe”, de un número que hay que encontrar. Esta concepción de la letra deja afuera a las ecuaciones sin solución y a las que tienen infinitas soluciones, ya que en ninguno de estos casos hay “un número para encontrar”. Entonces, el sentido que los alumnos van construyendo de la noción de ecuación, a partir de los problemas que tienen la posibilidad de resolver, es limitado, o al menos incompleto.

Cuando se habla de pasaje de términos o de aplicar la propiedad uniforme queda oculta una cuestión importante: que las transformaciones que se pueden hacer a una ecuación son las que conservan el conjunto solución. Son ecuaciones diferentes que tienen las mismas soluciones. Por ejemplo, 8x + 2 = 26 tiene el mismo conjunto solución que 8x = 24 y que x = 3, aunque las tres ecuaciones son diferentes. Se trata, entonces, de transformar las ecuaciones de modo tal que mantengan el mismo conjunto solución y éste pueda leerse fácilmente.

Es interesante analizar que no siempre es necesario llegar a una expresión del estilo x=k (donde k es un número real) para resolver una ecuación. Teniendo en cuenta que resolver una ecuación significa hallar el o los valores de la variable que hacen verdadera la igualdad (si es que existen), en el ejemplo anterior es posible determinarlo a partir de la ecuación 8x = 24. No resulta complicado determinar que el valor x = 3 es el único que hace verdadera la igualdad. Esto no significa que no haya que llegar al “último paso”, sino que creemos que un debate de este tipo puede ser rico para plantear en una clase con el objetivo de poner en discusión qué significa resolver una ecuación y qué hacemos para resolverla.

En el ejemplo anterior, las ecuaciones

8x + 2 = 26
8x = 24
x = 3

son todas equivalentes y el conjunto solución de cada una de ellas es {3}. Es importante hacer notar a los alumnos que x = 3 también es una ecuación que en el conjunto de los números reales tiene una sola solución.

En el proceso de enseñanza y en el de aprendizaje de las ecuaciones se da una situación paradojal en varios sentidos:

Creemos que hay un conocimiento que los docentes corren el riesgo de naturalizar y los alumnos no siempre tienen: dos expresiones son equivalentes si lo son para todos los valores de sus variables. Cuando los docentes les dan a sus alumnos un ejemplo donde 2x da un resultado diferente a x2 están suponiendo que ellos comparten este saber. Cuando no lo saben, entonces el ejemplo no les informa que esas expresiones no son equivalentes.

Luego, creemos que es necesario hacer un trabajo sobre la equivalencia de expresiones. Es interesante relacionarlo con las ecuaciones: si dos expresiones son equivalentes, entonces la ecuación que se obtiene al igualarlas tiene por solución a todos los valores posibles para sus variables.

Sabemos de los tantos errores recurrentes de los alumnos, pero nada ganaremos con quejarnos. Creemos oportuno correr el centro de atención hacia nosotros, los docentes, y buscar formas de tratar con estos errores. No se trata de volver a enseñar de la misma forma cada uno de los contenidos en los que se equivocan, sino de retomarlos para reflexionar sobre ellos. Se vuelve desde otro lugar, para poner lo aprendido en discusión.

El caso de 2 x y x² es un ejemplo y lo mismo podría hacerse con otros errores que se detecten. Una cuestión importante es que una vez que se discuta en la clase, habrá que prestar especial atención a cómo registrar los puntos más importantes del debate y su conclusión.
Un párrafo aparte lo merecen aquellos planteos –realizados por los alumnos– que parecen no tener sentido, que no pueden interpretarse desde el problema que se propone resolver.

Para algunos docentes, estos alumnos tienen dificultades para comprender los enunciados. Sin embargo, las investigaciones muestran que las dificultades están ligadas a la interpretación de datos y a la relación entre los datos y el pasaje al cálculo.

Es decir que la modelización de un problema a través del álgebra es una tarea compleja, que no se reduce a una simple interpretación de un enunciado. Requiere entenderlo, poder extraer de él sus datos relevantes, darse cuenta cuál es la pregunta que se está haciendo, buscar algún tipo de relación entre los datos y finalmente escribir la o las ecuaciones que modelizan el problema. Luego de este proceso se está en condiciones de intentar resolverlo.

La complejidad que encierra la modelización es de una magnitud suficiente como para que los alumnos no tengan que aprender a hacerla solos. Tiene que ser un objeto de enseñanza en la escuela.

¿Qué tipos de problemas aportan a la construcción del sentido de lo algebraico?

Si bien no es posible hacer un “catálogo” de los tipos de problemas que ayudan a los alumnos a constituir un panorama de lo algebraico, podemos plantear alguno y analizarlo.

Al impedir que se haga la cuenta, se está inhibiendo una resolución aritmética del problema, que solo consistiría en hacer el cálculo, dividir el resultado por 15 y hallar el resto. El tipo de actividad matemática involucrada es muy básico, y solo consiste en hacer divisiones para hallar sus restos.

Es necesario entonces que los alumnos busquen otras estrategias de resolución. El tipo de trabajo que ellos sean capaces de desplegar dependerá de muchos factores, uno de los cuales es el conocimiento y otro es el tipo de trabajo que están habituados a desarrollar. En función de ellos, el profesor tendrá que evaluar con mucho cuidado los momentos en los cuales intervenir y qué tipo de información dar, para que las decisiones sigan quedando a cargo de los alumnos.

Una opción que brinda el álgebra es la de leer la expresión dada para poder obtener información sobre ella.

Veamos cuál es una de las posibles formas de resolver el problema:

Para la primera pregunta, 15×3×12 + 5 puede leerse como un múltiplo de 15 más 5. Luego, el resto de la división por 15 es 5. Notemos que esa información se pierde al hacer la cuenta.

La noción de resto que se pone en juego aquí es la de la cantidad de unidades que un número excede a un múltiplo de 15, sin llegar al próximo. Se trata de una definición provisoria que más adelante podrá precisarse.

En el caso de la segunda pregunta, para hallar el resto al dividir la expresión dada por 6, se agrega una dificultad, que es 15×3×12 no contiene a 6 como factor. Se plantea entonces la necesidad de reescribirla de manera que el múltiplo deseado aparezca:
15×3×12 + 5 = 15×3×2×6 + 5.
La transformación permite leer que el número excede en 5 unidades a un múltiplo de 6. Luego, el resto de la división es 5.
Para la tercera pregunta, y con el objetivo de determinar el resto de la división por 5, basta con observar que ambos términos son múltiplos de 5 y tener en cuenta que la suma de múltiplos de 5 es un múltiplo de 5.

15×3×12 + 5 = 5 × 3 × 3 × 12 + 5

Entonces, al dividir la expresión por 5 el resto es 0.

Para decidir si es múltiplo de 4 procedemos en forma análoga.

Como 15×3×12 + 5 = 15×3×3×4 + 5, el número dado excede en 5 a un múltiplo de 4, lo que equivale a decir que excede en 1 al siguiente múltiplo de 4.

Una transformación de la expresión permite mostrarlo:

15×3×3×4 + 5 = 15×3×3×4 + 4 + 1 = 4× (15×3×3 + 1) + 1

Luego, el resto de la división por 4 es 1.

Si bien en la resolución de este problema sólo se utilizan expresiones numéricas, el tipo de razonamiento es algebraico. Las transformaciones de las escrituras se necesitan para leer información que en la escritura inicial no era legible, lo que constituye una utilidad: no se transforman las expresiones a pedido del docente sino porque resulta necesario.

En el marco aritmético las relaciones no son relevantes, se ocultan en el resultado de la cuenta. En el marco algebraico, en cambio, se “leen” las relaciones que brinda la cuenta o se la transforma para identificar otro tipo de relación.

Por supuesto, la lectura de relaciones requiere de conocimiento. Asimismo, es el conocimiento el que permite darse cuenta de que una transformación permitirá mostrar nuevas relaciones.

La transformación en una escritura equivalente permite decidir acerca de la divisibilidad o no de un número por otro, pero accediendo a razones que los criterios de divisibilidad ocultan.

Resolver un problema es esencial para analizarlo y analizarlo es fundamental antes de llevarlo al aula. Esto nos permite adelantarnos a algunas de las posibles dificultades que puedan tener los alumnos (aunque sabemos que es imposible predecir todo) y pensar en intervenciones que les permitan avanzar. Además, a partir del análisis podemos establecer cuáles son los objetivos del problema, decidir cuáles son las conclusiones que permite desarrollar y qué queremos que quede registrado en las carpetas.

Sin el análisis previo, dependemos de lo que se nos ocurra en la situación de clase. A veces, nos dejamos llevar por las discusiones del momento y perdemos el objetivo central del problema. Otras veces, no sacamos todo el provecho que podríamos de un problema por no haber analizado previamente toda su potencialidad.

En el apartado de propuestas de enseñanza, hay sugerencias sobre todo para séptimo grado y actividades para poder ir sorteando estos obstáculos.