En cuanto a la confusión «perímetro– área», «área – volumen» que se da frecuentemente en los alumnos, como ya se dijo tienen su origen en diversas razones tanto de origen psicológico como de origen didáctico.
El área y el perímetro son dos conceptos íntimamente ligados, por lo cual el estudio de dicha relación no debe quedar fuera de la escuela.
Su exploración favorece el mayor entendimiento de determinadas propiedades que sólo quedan en evidencia a partir de un trabajo de diferenciación entre las mismas. Esta práctica no toma en cuenta que las magnitudes área y longitud están íntimamente relacionadas, y por lo tanto se impone un trabajo de diferenciación entre ellas, que colabore en la mayor comprensión de cada una.
Una propuesta de actividad cuarto o grado superior podría ser la siguiente:
El juego de las transformaciones
El objetivo de esta actividad es que los alumnos puedan descubrir la independencia de las variaciones del área y del perímetro.
Los alumnos suelen confundir ambas nociones, o bien considerar que son magnitudes proporcionales entre sí o que el aumento de una de ellas se corresponde con un aumento en la otra. Existen además errores causados por las formas de designación habitual en la escuela. Un cuadrado de 1 m2 se define como un cuadrado de 1 m de lado, pero resulta que un cuadrado de 2 m2 no es un cuadrado de 2 m de lado. Lo mismo sucede con otros cuadrados.
Esta actividad permite operar sobre las figuras planas realizando transformaciones que apuntan a diferenciar ambas nociones y a descubrir que el aumento, la disminución o la conservación de la medida del perímetro es independiente del aumento, la disminución o la conservación de la medida de la superficie.
Veamos algunos ejemplos de diversas variantes que adjuntamos para el uso del docente:
- Mayor superficie y mayor perímetro:
Se puede agregar alguna superficie accesoria que aumenta tanto el perímetro como el área.
- Menor superficie y menor perímetro:
Se puede, en ciertos casos, realizar un corte siempre que el nuevo lado de la figura sea menor que los que se suprimen.
- Mayor superficie e igual perímetro:
Se pueden construir dos rectángulos por ejemplo de 12 cm de perímetro pero con diferentes superficies.
- Menor superficie e igual perímetro:
Se pueden cortar un cuadradito en un ángulo de la figura y se conserva el perímetro.
- Igual superficie y mayor perímetro:
Se puede cortar un rectángulo en dos y desplazar una de las partes. También se puede cortar una parte de la figura y colocar en otro lado como indica el ejemplo.
- Igual superficie y menor perímetro:
Se puede realizar un corte por la mitad al rectángulo y colocar una mitad debajo de la otra. Por ejemplo un rectángulo de lados 2 cm y 6 cm, se convierte en un rectángulo de lados 4 cm y 3 cm. El primero tiene perímetro 16 cm y el segundo de 14 cm. Ambos tienen un área de 12 cm2.
- Menor superficie y mayor perímetro:
Se puede realizar un corte interior a la figura y se logra disminuir la superficie aumentando el perímetro (pues también el borde interior forma parte del perímetro). O bien es posible realizar un corte irregular en un lado.
- Mayor superficie y menor perímetro.
Es la inversa de la situación anterior. Se regulariza un lado o se completa una figura hueca.
Secuencia
1° Etapa. Se divide a la clase en grupos de dos o tres alumnos. Cada grupo deberá tener los siguientes materiales: papel, tijera, lápiz, goma de pegar, hilo o soga. Se les solicita a los grupos que construyan cuatro rectángulos iguales y que a tres de ellos les realicen alguna transformación. Se les puede sacar o agregar una parte o bien cortar una parte y ubicarla en otro lugar sin superponerla a la figura original.
2° Etapa. Luego de que cada grupo obtiene su figura original y las tres transformadas se le pide que analicen qué variaciones se han producido en la superficie y en el perímetro de cada una de las figuras con respecto al rectángulo original. Se deberá observar si han aumentado, disminuido o se ha conservado la superficie y el perímetro. Los alumnos en muchos casos, podrán deducirlo sin necesidad de medición. Podrán en caso de duda utilizar recursos de medición (bordear con un hilo el perímetro, pegar y despegar para comparar los hilos, superponer figuras para comparar áreas o realizarlas en papel cuadriculado para contar lo cuadraditos).
Cada grupo registra para las tres figuras los cambios producidos en cada transformación. Sólo es necesario descubrir si ha aumentado o disminuido pero no es necesario encontrar las medidas de las variaciones.
3° Etapa. Se realiza una puesta en común. Cada grupo expone sus transformaciones y justifica sus observaciones. El docente registra los ejemplos en el pizarrón. Se construye un registro de manera que queden agrupadas las mismas transformaciones de los diferentes equipos. El docente aclara dudas y en caso de discusión propondrá comprobar los resultados.
4° Etapa. El docente invita a los alumnos a que busquen nuevas transformaciones que no hayan aparecido. En esta etapa se puede utilizar como figura original para transformar cualquier tipo de figura plana, pudiendo ser una figura no clásica.
Para esta etapa el docente puede utilizar diversas posibilidades presentadas en al introducción. En algunos casos los alumnos evaluarán como imposible algunas de las variantes y el docente puede guiar la exploración por medio de preguntas: ¿y si hacemos un agujero?¿y si le agregamos un triángulo?¿y si partimos de una figura con muchos cortes, muy irregular?, entre otras. El docente podrá mostrar ejemplos para someterlos a discusión.
5° Etapa. Una vez que se hayan explorado diversas variaciones, se realizará una actividad que permita reconstruir las acciones realizadas y los resultados obtenidos en las etapas anteriores. Para lograr dicho objetivo, el docente propondrá cada grupo que:
- Numere las figuras transformadas.
- Dibuje las figuras, tanto la original como las transformadas.
- Retome los registros realizados para cada transformación.
- Complete el siguiente cuadro para registrar si aumentó, disminuyó o se conservó el perímetro y la superficie de la figura transformada con respecto de la original.
| Perímetro | Superficie | |
|---|---|---|
| Figura |N° 1 | Aumentó | Disminuyó |
| Figura |N° 2 | Se conservó | Aumentó |
Luego de completado el cuadro, se realiza una puesta en común en la cual, el docente propondrá comparar los distintos cuadros y extraer conclusiones acerca de las transformaciones realizadas. Los alumnos registran las conclusiones.
Variantes:
- Realizar transformaciones de perímetro y superficie sobre geoplano o con varillas. Dichos materiales facilitan la comparación de perímetros y áreas y permiten nuevas reflexiones.
- Buscar figuras con igual perímetro e igual área.
- Cortar un papel glacé en 5 piezas. Combinarlas de diferentes maneras y observar qué sucede con el perímetro y el área.
- Construir 3 triángulos diferentes de igual área y distinto perímetro y viceversa.
- Investigar qué sucede en un triángulo o en rectángulo cuando se duplica su perímetro, ¿se duplica el área?
La siguiente secuencia está tomada de Matemática 5 de la serie Cuadernos para el aula.
Secuencia para relacionar perímetro y área: “Armando figuras”.
Actividad 1
A continuación, presentamos un juego que apunta, como primer objetivo, a poner en evidencia para los alumnos que hay diferentes figuras que tienen la misma área, del mismo modo que hay diferentes figuras que tienen el mismo perímetro.
“Figuras y condiciones”: figuras con perímetros y áreas dados.
Materiales:
- 60 cuadraditos de igual tamaño en cartulina o plástico.
- 10 tarjetas que digan área, con los siguientes números: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.
- 10 tarjetas que digan perímetro, con los siguientes números: 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30.
Organización de la clase: se juega entre tres o cuatro grupos formados por dos personas cada uno.
Desarrollo: el juego consiste en formar, con los cuadraditos, configuraciones en las que estos se encuentren unidos por un lado completo (es decir no pueden tener sólo como punto de contacto un vértice), y que tengan áreas o perímetros que se estipulen desde las tarjetas. La unidad de medida para el perímetro es el lado de los cuadraditos y la unidad de medida para la superficie son cada uno de los cuadraditos.
Se colocan los cuadraditos en el centro de la mesa. Se mezclan las tarjetas numeradas y se colocan boca abajo sobre la mesa.
Por turno, uno de los jugadores levanta una tarjeta y la lee en voz alta.
Durante un tiempo estipulado previamente, se trata de armar la mayor cantidad de configuraciones que respeten la condición dada por la tarjeta, utilizando los cuadraditos que están en el centro de la mesa.
Pasado el tiempo, se ponen en común las configuraciones y se adjudica 1 punto a cada configuración correcta y 0 puntaje a las incorrectas.
Se vuelven a colocar los cuadraditos en el centro para la próxima jugada.
El juego termina cuando la suma de puntos acumulados por alguno de los grupos alcance 15 puntos.
Actividad 2
A continuación, se ofrecen algunas partidas simuladas que se pueden presentar como problemas.
• Marisa dijo que cuando a su grupo le tocó la tarjeta área: 10, armaron 6 figuras; ¿cuáles pudieron haber sido esas figuras?
• El grupo de Hernán armó las siguientes figuras a partir de la tarjeta perímetro: 18. ¿Cuáles van a obtener puntaje?
Actividad 3
Los problemas que siguen plantean cuestiones y dificultades que no aparecen necesariamente en el juego y que significan una profundización en la reflexión acerca de la constancia y variación del perímetro y el área.
• Martín dijo que cuando les salió la tarjeta área: 8 el grupo de Rocío había armado las figuras de abajo y él armó otras 2 figuras, también de área: 8 pero de mayor perímetro. ¿Cuáles pueden ser esas figuras?
• Josefina dijo que en la jugada en la que Máximo armó la figura de abajo, ella había armado otras 2 de igual perímetro y área. ¿Qué figuras pudo haber armado?
Actividad 4
Otra actividad que podemos realizar con el mismo material, y apuntando al mismo objetivo, es disponer una configuración con los cuadritos y solicitarles a los chicos que armen otras, que cumplan a la vez dos condiciones en relación con la dada. Por ejemplo, que tengan mayor área y menor perímetro o menor perímetro e igual área.
Actividad 5
Esta actividad tiene como propósito que los chicos discutan sobre la validez de proposiciones generales acerca de conservación del área y el perímetro. Para esto, tienen la posibilidad de partir del conocimiento de casos particulares que les proporcionó el problema, y de la resolución y el debate de las partidas simuladas.
• Luego de haber participado del juego anterior, algunos alumnos sacaron las siguientes conclusiones. Indicá si estás de acuerdo o en desacuerdo con las mismas y fundamentá tu respuesta.
- Todos los polígonos de igual área tienen el mismo perímetro.
- Algunos polígonos del mismo perímetro y la misma área tienen diferente forma.
- Todos los polígonos del mismo perímetro tienen igual área.
A continuación, proponemos otra actividad orientada en el mismo sentido que la secuencia anterior, y que puede contribuir a la profundización de las reflexiones iniciadas, puesto que aparecen algunas formas que no son posibles de construir a partir de los materiales del juego.
• Cuando sea posible, transformá (agregándoles o sacándoles algo) las siguientes figuras, para obtener otras que tengan:
a) un área mayor, conservando el mismo perímetro;
b) un área menor y un perímetro mayor.
Situaciones para sistematizar propiedades de figuras y cuerpos
Para que al argumentar los alumnos avancen hacia el uso de propiedades, es necesario que enfrenten problemas en los que tengan que anticipar y dar razones sobre, por ejemplo, la figura que se obtiene al realizar una construcción.
Para el caso de las figuras, la comparación entre los triángulos del siguiente conjunto puede desembocar en la sistematización de las propiedades de sus lados y sus ángulos.
Adivinanza de figuras: propiedades de los triángulos.
Estas cartas, así como otras con diferentes figuras geométricas, están disponibles en Chemello, G. (coord.), Hanfling, M. y Machiunas, V. (2001), Juegos en Matemática EGB 2. El juego, un recurso para aprender. (Material recortable para alumnos).
Materiales: hojas con triángulos dibujados.
Organización de la clase: se divide en grupos de no más de 4 integrantes.
Desarrollo: se entrega a cada equipo una hoja con los triángulos. El juego consiste en adivinar cuál es la figura elegida por el docente, haciéndole preguntas que se respondan por sí o por no. Gana el equipo que primero encuentra la figura.
Las preguntas que los alumnos elaborarán, seguramente, serán de muy distinta índole. Por ejemplo, podrán preguntar: ¿Tiene lados congruentes (iguales)? o ¿Tiene un ángulo recto?, sin pensar en que algunas de esas propiedades son comunes a otras figuras del conjunto dado. O bien ¿Es el triángulo alargadito? ¿Es el triángulo gordo?, es decir, preguntas que no se refieren a características geométricas.
Cabe señalar aquí que para decidir si una figura se descarta o no en función de la respuesta del maestro, los chicos podrán realizar algunas comprobaciones empíricas, como comparar ángulos con la esquina de una hoja de papel para saber si son rectos o no, o realizar mediciones, pues no es suficiente con decidir “a ojo”.
Un registro en el pizarrón de todas las preguntas que van formulando los alumnos puede ser un buen recurso para organizar la discusión posterior. Si bien la consigna indica que solo pueden formularse aquellas preguntas que se respondan por sí o por no, es muy probable que, inicialmente, algunas preguntas (¿Cómo son sus lados? ¿Cuántos lados congruentes –iguales- tiene?) no sean adecuadas, lo que requerirá una discusión grupal que permita realizar acuerdos al respecto.
Por ejemplo, se podría concluir que las preguntas por cuánto, cómo y dónde no admiten como respuesta un sí o un no.
También habrá que realizar acuerdos básicos acerca de cuáles son las preguntas más útiles para determinar cuál es la figura seleccionada por el docente, lo que permite comenzar a identificar figuras que poseen una misma propiedad, como tener (o no) un ángulo recto o un par de lados congruentes (iguales).
En una segunda instancia, se puede volver a jugar incluyendo en la consigna la condición de elaborar la menor cantidad de preguntas posibles. Es de esperar que, luego de las discusiones realizadas y de los acuerdos a los que se arribó, los alumnos estén en mejores condiciones para realizar otras actividades, como la siguiente.
María y Martín dicen que eligieron el mismo triángulo. María dice que eligió un triángulo obtusángulo, en el que uno de sus lados mide 2,6 cm, y Martín dice que eligió un isósceles, en el que uno de sus lados mide 2,6 cm. ¿Es posible que sea cierto lo que afirman?
Es importante destacar aquí que para los niños no es evidente que un mismo triángulo pueda ser, a la vez, isósceles y obtusángulo.
Otra actividad de sistematización posible es solicitar a los alumnos que armen, en forma individual, un cuadro donde ubiquen las propiedades de las figuras o cuerpos que hayan explorado, y, luego, presentar algunas preguntas donde las propiedades se utilicen para justificar la verdad o la falsedad de ciertas afirmaciones.
Por ejemplo, en relación con los cuadriláteros, se podría proponer.
Completá el siguiente cuadro, dibujando, si es posible, un cuadrilátero en cada sector.
Discutí con tus compañeros si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
– Los cuadrados tienen diagonales congruentes (iguales).
– Las diagonales del rectángulo son perpendiculares.
– El rombo y el cuadrado son los únicos que tienen diagonales congruentes (iguales).
– Los cuadriláteros que no tienen todos sus lados iguales tampoco tienen diagonales congruentes (iguales).
– El romboide y el cuadrado tienen diagonales perpendiculares.
– Las diagonales de todos los cuadriláteros se cortan en el punto medio.
Algo similar se puede hacer con las figuras tridimensionales (cuerpos).
