Dentro del núcleo estructurante «Operaciones» uno de los saberes básicos fundamentales que se ha observado tienen dificultades los alumnos es respecto a resolver problemas de proporcionalidad (que incluye porcentaje).

Este saber básico está incluido en los saberes que se proponen promover desde los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios de séptimo grado, en Relación con el Álgebra y las Funciones, en donde se puntualiza:

El análisis de variaciones en situaciones problemáticas que requieran:

• reconocer y utilizar relaciones directa e inversamente proporcionales, usando distintas representaciones (tablas, proporciones, constante de proporcionalidad) y distinguirlas de aquéllas que no lo son
• explicitar y analizar propiedades de las relaciones de proporcionalidad directa (al doble el doble, a la suma la suma, constante de proporcionalidad) e inversa (al doble la mitad, constante de proporcionalidad).

A continuación se muestran algunos ítems de evaluación que obtuvieron en general menos del 50% de respuestas correctas. Por ejemplo en la evaluación de 2013 el ítem correspondiente a resolver problemas aplicando porcentaje (cálculo inverso, es decir, dada una cantidad, encontrar el porcentaje proporcional de una parte de ese total), obtuvo un 36,26% de aciertos. En cuanto al ítem correspondiente a resolver problemas de proporcionalidad obtuvo un 42,30% de aciertos.

Los ejercicios dados corresponden a varios operativos de evaluación (provinciales, nacionales e internacionales) porque en ellos, a pesar de ser poblaciones distintas y de distintos años, los alumnos repiten los mismos errores.

El aprendizaje de la proporcionalidad es uno de los temas que conforma la biografía de cualquier estudiante a lo largo de su recorrido escolar, y como ningún otro es fundamental por qué confluyen diversas nociones (medida, escala, porcentaje, mezclas, probabilidad, Thales, funciones lineales, semejanza, entre otros).

Al ser un conocimiento de uso masivo y cotidiano, aparece como un concepto sencillo. Sin embargo, su aprendizaje escolar genera gran cantidad de dificultades.

La construcción del concepto de proporcionalidad demanda varios años de la  escolaridad. Diversos estudios señalan que los niños no consideran a la vez todas las propiedades que caracterizan esta noción, comenzando con la idea de monotonía creciente, luego con la propiedad escalar y la de la suma y, por último, la de la constante.

El campo de problemas de la proporcionalidad incluye situaciones de ampliación y reducción de figuras aplicando alguna escala: aquellas donde la constante de proporcionalidad es un porcentaje, las que incluyen equivalencias entre unidades de medida, las que plantean velocidades constantes, las de reparto proporcional e, incluso, aquellas en las que se da una doble proporcionalidad, como es el caso de las variaciones del área de un rectángulo al modificarse una dimensión mientras las otras son constantes.

El campo de problemas que pueden ser resueltos usando la noción de proporcionalidad es muy amplio y, durante la escolaridad primaria, comienza con el estudio de aquellos en los que intervienen magnitudes directa e inversamente proporcionales.

Desde los primeros años de escolaridad, los niños son enfrentados a problemas que involucran la noción de proporcionalidad en los que aparece el valor unitario. Por ejemplo: “si 1 caramelo cuesta 10 centavos, ¿cuánto cuestan 8 caramelos?”; o donde se pregunta «si 5 caramelos cuestan 50 centavos, ¿cuánto cuesta un caramelo?».

Para continuar este trabajo, es posible plantear problemas sin informar cuál es el valor unitario, para que los niños usen, en forma implícita, dos de las propiedades que caracterizan a las relaciones de proporcionalidad directa: al doble de una cantidad le corresponde el doble de la otra; y a la suma de dos cantidades le corresponde la suma de las cantidades correspondientes. También son útiles las situaciones donde deben analizar si se cumplen o no las propiedades que permiten afirmar que están en presencia de una relación de este tipo.

Más adelante, el desafío será ofrecer a los alumnos la oportunidad de avanzar en los procedimientos de resolución de los problemas donde intervienen magnitudes directa e inversamente proporcionales, utilizando constantes de proporcionalidad con diferentes significados y comparando constantes.

Cabe destacar que no ayudará a los alumnos comunicar y mostrar cómo funciona la «regla de tres» para resolver este tipo de problemas, esperando que luego ellos la apliquen, sino que la tarea de los maestros será generar situaciones donde sea posible poner en juego dichas estrategias.

Por ejemplo proponemos presentar problemas con las cantidades mostradas en tablas, facilitando así el establecimiento de las relaciones «al doble, el doble» y «a la suma, la suma», como en el siguiente caso:

Manuel es el encargado de la boletería de pasajes de mediana y larga distancia, y necesita calcular rápidamente el precio de distintas cantidades de boletos, sobre todo cuando, durante las vacaciones, llegan muchos clientes juntos. Para ahorrar tiempo, y no hacer la cuenta cada vez, armó esta tabla para los pasajes que llevan al pueblo más cercano.

-¿Cómo podría utilizar Manuel su tabla para calcular el valor de 4 boletos? ¿Y si fueran 6? ¿Y si suben 8 personas juntas? ¿Y si fueran 12?¿Por qué se le habrá ocurrido poner estas cantidades en su tabla?

Luego de que los alumnos resuelvan esta situación, el maestro puede centrar la discusión en cómo llegaron a los resultados, reflexionando sobre las formas de obtener el precio de 4 boletos o el de 6, conociendo el de 2 boletos. También sobre cómo calcular el precio de 5 u 8 boletos conociendo los precios de 2 y de 3.

Es habitual que, al iniciarse en el trabajo de proporcionalidad, todas las situaciones presentadas sean directamente proporcionales. En el trabajo matemático con una noción es necesario conocer en qué casos es posible usarla para resolver, y también conocer sus límites; es decir en qué problemas no es posible usarla. Por ello también convendrá presentar problemas donde sea necesario analizar los datos de distintas situaciones, para ver si presentan o no una regularidad que cumpla con las propiedades de la proporcionalidad directa. Por ejemplo se puede plantear a los alumnos que si un bebé al año de edad pesa 7 kg y a los dos años pesa 14 kg, qué peso tendrá a los 15 años, para concluir que si bien el peso generalmente aumenta a medida que aumenta la cantidad de años, no es un ejemplo de magnitudes directamente proporcionales.

Otro de los contextos que permite trabajar con magnitudes directamente proporcionales, es considerar el cálculo de cantidades en una receta, del costo o la capacidad de distintos envases, o el análisis de distintas ofertas. Por ejemplo:

Indica si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa:
a) Para hacer una torta de manzana necesito 3 huevos; para hacer 3 tortas de manzana necesitaré el triple.
b) Para embaldosar dos aulas iguales necesito 238 baldosas; para embaldosar sólo una, necesito 119.
c) Si, al año, Ema pesa 12 kg, a los 10 años pesará 120 kg.
d) Si con 24 baldosones cubro un piso de 3 m por 2 m, con 48 baldosones cubro un piso de 6 m por 4 m.
Otro contexto que favorece la discusión sobre la utilidad del modelo de proporcionalidad es el de las ofertas. También aquí el análisis de la constante resulta una herramienta útil para decidir si existe o no proporcionalidad. Por ejemplo:
Lorena fue a comprar  kg de helados y en la lista figuraban los siguientes precios:
1 kg     —–     $ 10
kg   —-      $ 6
kg   —-      $ 4
Lorena pensaba pagar $ 7,50 y el heladero le dijo que debía pagar $ 10.
a) ¿Por qué pensó Lorena que debía pagar $ 7,50?
b) ¿Cómo habría explicado el heladero como calculó el valor de $ 10?
c) Modifica el enunciado de la situación para evitar confusiones.
En esta actividad, los chicos pueden responder que Lorena pensó en el precio unitario y calculó el valor de los kg utilizando la proporcionalidad; en tanto que el heladero sumó los precios de kg máskg ($6 + $4), independientemente de cualquier relación de proporcionalidad.

Resulta interesante promover la discusión acerca que, en los datos de la lista de precios, cuando la cantidad del helado es menor, el costo es menor; pero el mismo no disminuye en la misma relación. Por otra parte, el precio por cada kilo no representa la constante que permitirá determinar los valores de y . De los datos, resulta que para hay 3 precios posibles: $12, $10 y $7,50. Además, si la relación fuera de proporcionalidad, considerando el costo unitario, el kilo debería valer $5 y el kilo $2,50. Por último, en la lista de precios podríamos agregar alguna inscripción, como Oferta: ¡lleve 1 kg y pague sólo $10!.

El análisis de los precios de diferentes artículos presentados en distintos tamaños (gaseosas, aceites, jabón en polvo, yerba, etc.) en las góndolas de los supermercados favorecerá la lectura inteligente de la información y la toma de decisiones respecto de la presencia o no de ofertas.

Las actividades en las que hay que pasar de una forma a otra de representación de la relación de proporcionalidad también aportan a la construcción de sentido. Por ejemplo, se puede presentar una situación en un texto que dé lugar a confeccionar una tabla.

También es importante tener en cuenta que es posible incorporar nuevas representaciones de las relaciones de proporcionalidad, a las ya conocidas de enunciado textual y de tabla; como por ejemplo algunos gráficos estadísticos de barras o pictogramas. Habrá que considerar, luego, la presentación de problemas que permitan a los niños avanzar hacia la propiedad de la constante de proporcionalidad.

En cuanto a problemas que incluyen proporcionalidad, se pueden trabajar problemas como el siguiente:
En una ciudad, se realizaron los juegos deportivos interescolares en los que  participaron 80 alumnos. De acuerdo a las diferentes categorías y juegos, lograron estos premios:
– 3 alumnos obtuvieron el primer puesto en salto en largo y 5 alumnos el primer puesto en velocidad,
– 2 equipos de fútbol (22 alumnos) lograron el segundo puesto y
– 15 alumnos obtuvieron los terceros puestos en diferentes juegos.
Decide, haciendo cálculos mentales, cuáles de las siguientes afirmaciones de los chicos son ciertas:
1. Más del 50% de los alumnos trajeron premios.
2. El 10% logró estar en los dos primeros puestos.
3. Más del 25% de los alumnos alcanzó el segundo puesto.

Este problema incluye porcentajes calculables mentalmente en forma sencilla, si se asocia el 50% con , el 25% con y el 10% con la décima parte.

En cuanto a los problemas donde intervienen magnitudes inversamente proporcionales, es necesario plantear primero su resolución para luego considerar el análisis de las relaciones involucradas. Los problemas de fraccionamiento y envasado de productos proporcionan un contexto que permite otorgarles significado. Por ejemplo:
Una pequeña bodega decidió fraccionar en envases de menor capacidad el contenido de 80 damajuanas de 5 litros cada una. Averigua qué cantidad de cada tipo envases sería necesaria según las capacidades que aparecen indicadas en la tabla.

A partir del primer par, es posible hallar el correspondiente de 1 litro pensando que, si el envase tiene 5 veces menos capacidad, serán necesarias 5 veces más unidades, por lo que habrá que hacer 80 x 5 = 400. En este caso, hay que usar una relación escalar, es decir, multiplicar una cantidad y dividir. Todos los demás pares podrán ser completados utilizando relaciones escalares y advirtiendo que, para saber el correspondiente de , convendrá calcular primero el de aunque no aparezca en la tabla.

También se podría resolver calculando la constante de proporcionalidad. En este caso, la constante representa la cantidad total de litros a envasar, y es posible de obtener haciendo 5 litros por envase x 80 envases = 400 litros. Esta es una relación funcional, que vincula magnitudes diferentes: la capacidad de cada envase con el número de envases necesarios.

La última situación muestra que entre las magnitudes inversamente proporcionales es posible establecer dos tipos de relaciones: una entre cantidades de una misma magnitud; es decir, una relación escalar; y una relación funcional que vincula magnitudes diferentes y refleja el sentido de la unidad de razón o la constante de proporcionalidad.

En el apartado de propuestas de enseñanza, hay sugerencias y actividades para poder ir sorteando este obstáculo.

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