El área y el volumen son temas considerados complejos y difíciles, tanto para aprender por parte de los niños como de enseñar para los docentes.
Tanto la construcción del concepto de área como de volumen son procesos complejos que no se adquieren inmediatamente sino en forma gradual.
Se debe construir el concepto de unidad entre otras cosas y hacer uso de la iteración de la misma para asignar un número al objeto que se mide. Y la dificultad radica fundamentalmente que ese número generalmente no es natural y se confunde la medida entera con la medida exacta. Hay que trabajar en la medición con las aproximaciones y los encuadramientos para evitar de este modo que los alumnos crean que las medidas son enteras, además de analizar que tanto el encuadramiento como la aproximación a aplicar en una medida dependen del tipo de medida y del uso de la misma.
Para lograr que los alumnos se formen el objeto mental volumen es necesario trabajar las siguientes actividades:
- Realizar transformaciones con sólidos como modelar, verter, transformaciones de romper y rehacer, sumergir en líquidos, entre otros. A través de las actividades diferenciar y relacionar volumen-área, volumen-capacidad.
- Realizar repartos equitativos de líquidos, masa, plastilina, aprovechando la regularidad de ciertas figuras del espacio; estimando y midiendo.
- Comparar y reproducir sólidos, ya sea comparando bases y alturas, por estimación, por medición, usando transformaciones que conserven el volumen. Se consideran también situaciones en las que hay que comparar dos volúmenes pero también aquellas en las que se debe realizar una reproducción de un volumen con una forma diferente.
- Medir, ya sea por exhausción (por agotamiento) con una unidad y afinando la medición con subunidades; por acotación entre un nivel superior e inferior; por transformaciones de romper y rehacer, proceso por el que generalmente se deducen las fórmulas de las figuras geométricas; por inmersión; por medio de relaciones geométricas generales midiendo las dimensiones lineales y aplicando fórmulas para obtener la medida.
- Realizar construcciones: cuerpos de igual área y distinto volumen, cuerpos de igual volumen y diferentes áreas, y todas las combinaciones que se puedan hacer.
Lo importante es que haya variedad de actividades para que la comprensión del concepto de volumen sea la adecuada.
Algunas de las actividades que promueven la formación del objeto mental volumen son las siguientes:
Comparación de volúmenes
- Consiga una botella cilíndrica de plástico transparente con un tapón. En un lateral de la botella pegar una tira de papel para que el niño pueda señalar marcas con un lápiz. Preguntar al niño las siguientes cuestiones:
- ¿Dónde podemos poner una marca en la botella que indique cuando está llena por la mitad? Marcar el punto donde piensas que esto ocurrirá.
- Ahora medir el volumen de la botella usando el tapón. ¿Cuántos tapones cabrán en la botella? Llenar la botella con la mitad de esos tapones. ¿Es correcta la estimación cuando la botella está llena por la mitad?
- Las siguientes actividades están diseñadas como un juego entre dos niños. Como material se necesita un conjunto de 20 bloques corrientes de forma cúbica. En este juego cada niño participa primero y luego actúa como “maestro” del otro.
“Toma 3 bloques” ¿Cuántas formas diferentes puedes formar con estos bloques? Dos chicos deberían trabajar juntos para dar sus respuestas. Usa 4 bloques, luego continua con 5 o más. Después, cuando se ha probado con un conjunto de 10 bloques, uno de los dos hace de “maestro”. Esa persona hará dos formas diferentes, que no tengan más de 10 bloques, mientras la otra persona no está mirando. Cuando las dos formas están terminadas, el maestro pregunta al compañero cuál es la más grande. Si el compañero responde correctamente, este ahora hace de maestro y continua el juego. Si responde incorrectamente, el maestro toma otro turno.
Cuando el tiempo ha terminado ambos niños cuentan los bloques necesarios para hacer cada una de las dos formas. Si el compañero falla tres veces seguidas en responder el “maestro” gana la partida. A continuación le corresponde al otro hacer la función de “maestro”, componer las formas y hacer las preguntas. El profesor puede intentar confundir al compañero haciendo cada forma con el mismo número de bloques, para que el compañero deba decir “ambos son iguales”.
Variar el juego puntuando las respuestas y hacer que vaya anotando los resultados. Establecer un límite para el número de tiradas.
Clasificación de capacidades
Dar a los niños una colección de recipientes etiquetados, y elegir uno de ellos como patrón de comparación. La tarea de los niños será clasificar la colección según que tengan más, menos o igual capacidad que el patrón. Preparar una hoja de registro como la siguiente.
|
Previsión |
Después de la medida |
|||||
|
Recipiente |
Más |
Menos |
Igual |
Más |
Menos |
Igual |
| Tipo 1 | ||||||
| Tipo 2 | ||||||
| …… | ||||||
Comprobar las previsiones llenando los recipientes con algún material suelto (arroz, arena, agua, entre otros).
Por otro lado vamos a realizar algunas consideraciones en relación a la enseñanza del concepto de medida.
La “utilidad práctica” es una razón que muchas veces se esgrime para defender la presencia de un contenido de enseñanza en la escuela. Sin embargo, este argumento no parece consistente con la manera como algunas prácticas docentes – muy instaladas en la primaria – tratan la medida.
La enseñanza escolar de la medida habitualmente se centra en el cálculo a través de la aplicación de fórmulas y equivalencias. La intención es promover una mejor construcción del sentido de este saber matemático por parte de alumnos.
Como puntualizan los cuadernos para el aula, habitualmente, utilizamos el término cantidad para referirnos al valor que toma una magnitud en un objeto particular. Por ejemplo, el largo de una varilla, pero esa longitud también hace referencia a cualquier objeto que pueda superponerse exactamente con el largo de esa varilla.
El dominio de las escrituras de cantidades a partir de un sistema regular de medidas es objeto de trabajo en 6º grado. El problema de las escrituras equivalentes es complejo, ya que en su comprensión se involucran otros conceptos, por ejemplo el valor de posición y la importancia del cero. A los problemas relativos a los números decimales se añaden los propios de la medida en lo referente a escrituras con diferentes unidades. Frecuentemente, los alumnos suelen cometer errores para pasar de la lectura a la escritura de cantidades cuando éstas tienen ceros.
Actividades que se puede proponer para avanzar en la explicitación de la estructura del sistema métrico pero que no involucran directamente la equivalencia de unidades en el sistema, son las siguientes:
• Dados los siguientes segmentos A y U
Determina cuántas veces “entra” A y cuantas veces “entra” U en cada uno de los siguientes segmentos.
Juan dice que D mide dos veces A y Marina dice que D mide cuatro veces U, ¿quién tiene razón? ¿por qué?
Preguntas similares se pueden hacer para observar que como U es la mitad de A, el valor de la medida de lo que mida con U será el doble de lo que se mida con A.
Luego se puede continuar con la siguiente actividad.
• Dado el segmento A 
y sabiendo que este segmento tiene el doble de longitud que el segmento U, construí los segmentos U, B, C, D, E, F, G.
B = 2 A C = 2,5 A D = 4U
E =
A + 1U F = 2A + 1U G = 5 U
Para realizar la actividad, los alumnos tendrán que interpretar las relaciones de las escrituras que se presentan, para luego poder construir los segmentos. Al ordenarlos, y con la ayuda que les proporciona el dibujo, los chicos podrán determinar tres grupos de segmentos de igual longitud y establecer relaciones como las siguientes: A=E, C=F, B=D, F=G, E es menor que B, D es menor que C, entre otras.
En una puesta en común, es importante que dirijamos la reflexión sobre:
– Las relaciones entre las unidades de medida y los valores de las medidas.
– Al utilizar las unidades A o U los números de las medidas varían en relación inversa porque si A es el doble que U, U es la mitad de A.
– Las diferentes escrituras de la medida 1 U = A = 0,5 A, utilizando números enteros o no (expresión fraccionaria o decimal) en función de la unidad de medida elegida.
– Los significados de las escrituras unificadas, por ejemplo, 5 U (respecto de una unidad) en relación con las escrituras complejas 2 A + U y sus equivalencias 2 A + U=5 U = 2,5 A.
– Las lecturas de las escrituras equivalentes y la significación que ésta puede aportar para imaginar una cantidad. Por ejemplo, pensar que C es dos veces y media el segmento A es más simple que pensar que C es dos veces el segmento A más una vez el segmento U.
Otras actividades que favorecerían la construcción de estas relaciones podrían ser las siguientes.
• En las escritura de los valores de la longitud de cada uno de estos segmentos se utilizaron unidades diferentes de U y M. Indicá en cada caso qué relación encontrás entre U y M.
A = 2 U = 8 M B = 6 U = 3 M C = 10 U = 100 M D = 1 U = 1000 M
• Dadas las siguientes equivalencias, ¿cuántas veces mayor o menor son U, M, y P que la unidad A? Justificá tu respuesta.
2 A = 6 U 10 A = 1 M 5 A = 50 P
Como ya lo mencionamos, en todos estos casos es importante la reflexión permanente sobre las equivalencias de cantidades de diferentes magnitudes, utilizando unidades no convencionales y convencionales con las relaciones de décimas, centésimas, entre otros.
De forma similar, podemos proponer actividades como la anterior para poner en juego las relaciones que se establecen en el Sistema Legal de medidas. Por ejemplo:
• Completá para que las expresiones resulten equivalentes.
10 cm = … m 10 cm = … 0,1…
10 … = 0,1 m … cm = 0,1…
Si bien los ejemplos anteriores se han desarrollado teniendo en cuenta la longitud, que es la magnitud que con mayor frecuencia aborda el tratamiento escolar y permite comprobaciones empíricas muy accesibles, el mismo tipo de trabajo puede plantearse para situaciones que se refieran a capacidades o pesos.
Cabe advertir que para los alumnos no es directa la generalización: si 1 kilómetro equivale a 1000 metros, kilolitro equivale a mil litros y kilogramo a mil gramos, o que si para expresar una misma cantidad la unidad se reduce a la décima parte la medida resulta 10 veces mayor, tanto para longitudes como para capacidades y pesos. En este sentido, no basta con trabajar en profundidad la longitud para pasar luego a sistematizar las relaciones entre unidades para otras magnitudes sin desarrollar antes actividades específicas al respecto. Es por esta razón que la primera actividad propuesta es la de los segmentos, ya que permite observar que si la unidad de medida es mayor la cantidad es menor y viceversa.
Las siguientes tareas pretenden seguir adentrando a los alumnos en la internalización del concepto de medida. Por ejemplo, el maestro, luego de hacer observar los inconvenientes de medir longitudes mayores (zócalo del aula, largo del pizarrón, altura de los alumnos, entre otros) con la reglas escolares de 20 ó 30cm, propone a sus alumnos “En grupos de dos, construyan con estas bandas de cartulina que les doy (sin graduación alguna) un metro idéntico al que tengo (que sí está graduado en cm y dm). Tendrán dos metros de modelo: uno pegado en el pizarrón y el otro en mi escritorio. No pueden llevarse estos metros (ni traer las bandas), pero pueden extraer de ellos todas las informaciones que consideren necesarias. Una vez terminado de construir su metro, deben llevarlo y compararlo con los patrones para ver si lo han hecho bien”.
Otras actividades pueden ser:
- Conseguir una variedad de envases de la misma gaseosa (y los precios) y ver cuál resulta el más económico y por qué.
- Comparar objetos según su longitud en forma directa e indirecta con sogas, varillas, entre otros: ancho puerta, ancho ventana, perímetro cabeza; perímetro cintura, ancho y largo de una baldosa.
- Comparar caminos de distinta formas (rectos, curvos y quebrados), por ejemplo: caminos dibujados en el piso o en el pizarrón.
- Estimar la longitud de dos objetos (en una misma unidad y en unidades distintas) y luego comprobar.
- Ordenar objetos teniendo en cuenta su longitud.
- Obtener longitudes equivalentes a una dada.
- Para investigar: ¿Cuántos pies/manos entran en un metro? ¿Hasta dónde puede estirarse una banda elástica?
- Diseña un cartel que ajuste exactamente a una lata para usarla de lapicero.
