En cuanto a la confusión «perímetro– área», «área – volumen» que se da frecuentemente en los alumnos, como ya se dijo tienen su origen en diversas razones tanto de origen psicológico como de origen didáctico.
El área y el perímetro son dos conceptos íntimamente ligados, por lo cual el estudio de dicha relación no debe quedar fuera de la escuela.
Su exploración favorece el mayor entendimiento de determinadas propiedades que sólo quedan en evidencia a partir de un trabajo de diferenciación entre las mismas. Esta práctica no toma en cuenta que las magnitudes área y longitud están íntimamente relacionadas, y por lo tanto se impone un trabajo de diferenciación entre ellas, que colabore en la mayor comprensión de cada una.
Figuras para armar figuras
Este juego permite la puesta en práctica de estrategias personales de construcción de figuras tomando en cuenta las familias de aquellas que cumplen ciertas propiedades geométricas.
Al disponer de las piezas recortadas, los alumnos tienen la posibilidad de manipularlas y poner en juego sus concepciones sobre, por ejemplo, equivalencia de áreas de figuras de diferente forma, perímetros, movimientos en el plano y simetrías y composición de figuras.
Estas piezas, así como otras con diferentes figuras geométricas, están disponibles en Chemello, G. (coord.), Hanfling, M. y Machiunas, V. (2001), Juegos en Matemática EGB 2. El juego, un recurso para aprender. (Material recortable para alumnos).
A diseñar patios
Materiales
• 48 cuadraditos, 24 para cada equipo
• Mazo de cartas con los números de 1 a 20
Organización del grupo
• Se juega de a 4 integrantes: 2 equipos de 2 alumnos.
Reglas del juego
Se trata de armar patios de diferentes formas a partir de los cuadraditos, sin superponer piezas, y con la condición de que cada cuadradito debe tener, al menos, un lado común con otro.
Se coloca el mazo de cartas boca abajo y el juego comienza cuando un jugador extrae una carta y la pone boca arriba. El número que allí aparece será el número de baldosas del patio.
Cada equipo debe entonces formar con cuadraditos, como indica la carta, la figura de mayor perímetro posible.
Gana y se anota un punto el equipo cuya figura tiene perímetro mayor. Si son perímetros iguales, hay empate y llevan un punto cada uno. El juego concluye luego de jugadas de 10 manos.
Consideraciones didácticas
Se puede pedir a los alumnos que, al concluir cada mano, anoten en una tabla el número de baldosas y el contorno de cada patio.
También se puede pedir, si se les proporciona papel cuadriculado, que dibujen en cada caso las figuras obtenidas. Esto permitirá hacer una puesta en común armando una tabla con los resultados de todos los equipos.
El juego permite asimismo abordar, las nociones de perímetro y área, las relaciones entre perímetro y área, y la equivalencia de figuras por área. Se ponen en juego procedimientos de reproducción de figuras.
Es importante que sean los alumnos quienes controlen y analicen si las figuras se adecuan o no a los criterios de construcción establecidos, debiendo el docente intervenir sólo en el caso de que ellos no se pongan de acuerdo.
El juego permite trabajar en la discriminación entre área y perímetro, y también distinguir entre el perímetro de las figuras formadas y el perímetro de los cuadraditos que la forman (no aditividad del perímetro) y trabajar con la conservación del área, al no poder haber superposición entre los cuadraditos para formar las figuras.
Actividades complementarias
Se puede pedir a los alumnos, por ejemplo, que dibujen en el cuaderno la familia de figuras de 2, de 3 y de 4 unidades de área (o de las otras medidas), y aprovechar la puesta en común para iniciar la discusión acerca de cuándo dos figuras pueden ser consideradas diferentes o no (si se consideran iguales o no las figuras que surgen de la rotación de otra, por ejemplo).
Luego de completada la familia de figuras pedidas, se les puede solicitar que identifiquen aquellas que cumplan determinada propiedad, por ejemplo, las convexas o las que tienen exactamente un eje de simetría, variando las consignas según las propiedades conocidas por la clase.
En el cuaderno pueden ordenar por perímetro creciente las figuras de una cantidad fija de área.
Patios de igual contorno
Con cartas pares del 8 al 20 se trata de que cada equipo arme una figura con el perímetro que sale en la carta. Gana un punto el que tiene mayor área (o menor, según se haya acordado antes de comenzar). Si hay más de uno con la misma área, cada uno gana 1/2.
Por ejemplo: perímetro = 16
Actividades complementarias
Como actividad complementaria a esta variante, se puede proponer que, por grupos, intenten hallar todas o la mayor cantidad posible de figuras distintas que se pueden armar con las características dadas.
Actividades de investigación
Los materiales denominados “Figuras para armar figuras” han sido pensados para proponer a los alumnos actividades de investigación.
Material disponible en Juegos en Matemática EGB2. El juego como recurso para aprender. Material para alumnos.
Las hojas punteadas se usan como bases para el armado de figuras cuando sea necesario.
- Se pueden presentar, por ejemplo, consignas de trabajo como las siguientes.
• Formar la mayor cantidad posible de figuras convexas y ponerles nombre: sobre hoja punteada cuadriculada con cuadrados; sobre hoja punteada cuadriculada con triángulos rectángulos; sobre hoja punteada triangular con triángulos equiláteros; sobre hoja punteada cuadriculada con cuadrados y triángulos rectángulos;
- Discutir qué tienen en común las figuras que se pueden formar sobre cada tipo de papel punteado. En un caso serán figuras con ángulos de 90º, 45º y 135º, y en el otro figuras con ángulos de 60º y 120º.
- Explorar distintos tamaños posibles de una misma figura, generando ampliaciones.
Situaciones para sistematizar propiedades de figuras y cuerpos
Para que al argumentar los alumnos avancen hacia el uso de propiedades, es necesario que enfrenten problemas en los que tengan que anticipar y dar razones sobre, por ejemplo, la figura que se obtiene al realizar una construcción.
Cartas con cuadriláteros
Estas cartas permiten desarrollar actividades en las que se propicia el reconocimiento de las figuras por la clase a la que pertenecen o la explicitación de alguna de sus propiedades geométricas dadas por las relaciones entre sus elementos.
Memotest geométrico
Materiales
• 18 cartas del memotest geométrico (sólo las que tienen figuras de cuadriláteros convexos). Página 28 Juegos en Matemática EGB2. El juego como recurso para aprender. Material para alumnos.
Organización del grupo: se juega en grupos de 4 alumnos.
Reglas del juego
Se mezclan las fichas y se acomodan boca abajo, en una disposición rectangular.
Por turno, cada jugador levanta 2 fichas, de manera que todos los jugadores puedan verlas; si encuentra alguna relación geométrica (tipo de figuras o propiedades) entre las dos figuras la enuncia en voz alta y, si los demás jugadores acuerdan, se lleva ambas fichas. Si no encuentra alguna relación geométrica, las vuelve a ubicar boca abajo en los mismos lugares. No se considera válido en este juego decir al levantar dos figuras: “Son convexas” o “Son cuadriláteros”. Por ejemplo, pueden decir “Son rombos” o “Tienen 4 lados iguales” para levantar el cuadrado y un rombo no cuadrado, o “Son paralelogramos” o “Tienen 2 pares de lados opuestos paralelos” y no levantar sólo el paralelogramo “típico” sino dos particulares, como rombo y rectángulo o “Tienen un par de ángulos opuestos iguales (congruentes) al levantar el rombo y el rectángulo.
En cualquiera de los dos casos, se le cede el turno al siguiente jugador, hasta que no queden más fichas. Gana quien levantó más fichas. Si hay desacuerdo, deben exponer sus posiciones y justificarlas. Sólo si agotada esta instancia no se llega a un acuerdo pueden pedir la intervención del docente.
Consideraciones didácticas
Este juego permite trabajar con diferentes clasificaciones de cuadriláteros convexos y, eventualmente, con las intersecciones entre las clases de cuadriláteros, utilizando en las argumentaciones, entre otras, las nociones de paralelismo, perpendicularidad y ángulo.
En el desarrollo, los alumnos tendrán la oportunidad de poner en juego sus capacidades para clasificar, describir, analizar propiedades y formularlas en forma oral.
El tipo de propiedades utilizadas dependerá de los temas ya trabajados en la clase y del dominio que de ellas tengan los alumnos. En sucesivas ocasiones de juego irá apareciendo un repertorio de propiedades de los elementos de los cuadriláteros tales como: ”Tienen un par de lados paralelos”, “Tienen solamente un par de lados paralelos”, “Las diagonales se cortan en partes iguales”, “Los ángulos opuestos son iguales”, “Tiene al menos un eje de simetría”, por citar algunas.
Para que vayan incorporando nuevas propiedades, se podrán incluir en la consigna inicial distintas restricciones relativas a las propiedades ya utilizadas para que busquen otras. Por ejemplo, si sólo observan la longitud de los lados, o si los ángulos son o no rectos, o si tienen o no igual medida, la restricción será “No se puede decir ‘Tienen lados iguales’ ni ‘Tienen ángulos iguales’.”
Se puede encomendar a un alumno por grupo que durante el transcurso del juego haga una lista de las propiedades expresadas oralmente y que fueron aceptadas por todos, y un croquis de los pares de figuras levantadas, de modo de llevar un registro. Cuando todos los equipos terminaron de jugar, se exponen en el pizarrón las conclusiones. Entonces se podrán discutir estas expresiones para analizar si algunas de ellas son equivalentes y si hay otra manera de expresarlas matemáticamente.
También es posible que surjan unos casos en que un mismo par de figuras levantadas mencionando distintas propiedades comunes y otros en los que una misma propiedad es usada para levantar distintos pares de figuras. Se tendrá así una oportunidad para reflexionar acerca de qué propiedades son más generales y cuáles más particulares.
Es importante que sean los alumnos los que controlen y analicen si las propiedades mencionadas son correctas o no, debiendo el docente intervenir sólo en el caso de que ellos no se pusieran de acuerdo.
Una opción es comenzar jugando en dos equipos de manera de permitir el “repaso” de mayor cantidad de propiedades y luego de varios partidos jugar en forma individual. Al organizar el juego en dos equipos de dos jugadores que actúen cooperativamente entre sí y competitivamente con el otro equipo, se permite que en cada equipo los jugadores compartan las propiedades que conocen y las aprovechen para aumentar el pozo común de cartas. Luego, al jugar individualmente, es posible que reconozcan y recuerden un mayor repertorio de propiedades, tomando en cuenta, por ejemplo, las propiedades identificadas por los compañeros en las partidas anteriores, y que las aprovechen para poder llevarse más fichas.
Actividades complementarias
En el juego se lleva a cabo un trabajo de reconocimiento e identificación de figuras y propiedades, y no de construcción de figuras. Para un trabajo posterior se puede, por ejemplo, partir de una hoja de papel punteado (se puede comenzar con un cuadrado de 25 puntos), y pedir que dibujen distintas figuras con vértices en los puntos. De esta manera se logran disminuir las dificultades que ocasiona el empleo correcto de los útiles de Geometría y liberar la atención a la puesta en juego de propiedades. Se puede indicar que dibujen cuadrados distintos (serán distintos si el lado es de distinta longitud), los lados no necesariamente tienen que ser verticales u horizontales.
Se pueden dar consignas similares para los distintos cuadriláteros convexos.
Variantes del juego
A las 18 cartas se agregan las 12 tarjetas con propiedades y las 2 cartas con los cuadriláteros cóncavos. Se levanta una carta con figura y una tarjeta, y sólo se llevan ambas tarjetas si la figura cumple la propiedad que indica la tarjeta. Siempre debe haber acuerdo entre todos los integrantes del grupo para tener el derecho de llevarse las tarjetas.
